1 #include 
      
         2 #include 
       
          3 #include 
        
           4 #include 
         
            5 #include 
          
             6 using namespace std;  7 typedef long long int64;  8 int ca,top,prim[50005];  9 int64 A,B,K,pi,pk,ans,ti,q; 10 int64 ksm(int64 x,int64 y){ 11     if (y==0) return 1; 12     if (y==1) return x; 13     int64 d=ksm(x,y/2); 14     if (y%2==1) return d*d*x; 15     else return d*d; 16 } 17 int64 exgcd(int64 a,int64 b,int64 &x,int64 &y){ 18     if (b==0){ 19         x=1,y=0; 20         return a; 21     } 22     int64 temp=exgcd(b,a%b,x,y),tmp; 23     tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y; 24     return temp; 25 } 26 int64 YuanGen(int64 x){ 27     bool flag; 28     top=0; 29     int64 temp=x-1; 30     for (int i=2;i<=sqrt(x-1);i++){ 31         if (temp%i==0){ 32             prim[++top]=i; 33             while (temp%i==0) temp/=i; 34         } 35     } 36     if (temp>1) prim[++top]=temp; 37     for (int i=1;;i++){ 38         flag=1; 39         for (int j=1;j<=top;j++){ 40             if (ksm(i,(x-1)/prim[j])%x==1){ 41                 flag=0; 42                 break; 43             } 44         } 45         if (flag) return i; 46     } 47 } 48 #define maxn 100005 49 #define maxm 400005 50 int now[maxn],prep[maxm]; 51 int64 val[maxm]; 52 void insert(int x,int64 y){ 53     int64 pos=y%maxn; 54     prep[x]=now[pos],now[pos]=x,val[x]=y; 55 } 56 int find(int64 x){ 57     int64 pos=x%maxn; int ans=maxm*4; 58     for (int i=now[pos];i!=-1;i=prep[i]){ 59         if (val[i]==x) ans=min(ans,i); 60     } 61     if (ans==maxm*4) return -1; 62     else return ans; 63 } 64 int64 BSGS(int64 A,int64 B,int64 C){ 65     memset(now,-1,sizeof(now)); 66     int64 pos,temp=ceil(sqrt(C*1.0)),D=1,R=1; 67     for (int i=0;i
           
            1){124 pi=pk=temp; ti=1;125 ans*=work(A,B);126 }127 printf("%lld\n",ans);128 }129 return 0;130 }
           
          
         
        
       
      

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2219

题目大意：在ACM_DIY群中，有一位叫做“傻崽”的同学由于在数论方面造诣很高，被称为数轮之神！对于任何数论问题，他都能瞬间秒杀！一天他在群里面问了一个神题: 对于给定的3个非负整数 A,B,K 求出满足 (1) X^A = B(mod 2*K + 1) (2) X 在范围[0, 2K] 内的X的个数！自然数论之神是可以瞬间秒杀此题的，那么你呢？

第一行有一个正整数T,表示接下来的数据的组数( T <= 1000) 之后对于每组数据，给出了3个整数A,B,K (1 <= A, B <= 10^9, 1 <= K <= 5 * 10^8)

输出一行，表示答案。

做法：这题很像之前写过的一个题，用原根+指标+bsgs即可，但是那一题B，C互质，且C一定存在原根。这题不一样了，设C=2*k+1，C不一定存在原根，但是我们可以将其标准分解，这些pi^ti一定存在原根，因为C%2==1，一定不会有2的幂，而奇素数的a次幂，a>=1,一定存在原根。我们对每个x^A=B(mod pi^ti)（0=<x<pi^ti）求出解的个数后乘起来就是原来的解，至于为什么，右转百度搜中国剩余定理推论。

怎么求x^A=B(mod pi^ti)（0=<x<pi^ti）的解的个数呢？我们将B%pi^ti，为了一些边界情况，我们要分情况讨论，当B=0时，那么x^A一定是pi^ti的倍数，我们x中存在因子p^a,且a*A>=ti，那么只要是p^a的倍数就行，可以手推式子。

当B>0时，我们将B分解为pi^b  * T，我们要想办法把pi^b约去，那么x^A中也要刚好有pi^b次方，否则之后同余不成立，所以当A不整除b时无解，令k=b/A,那么x=p^k  * G,G属于[0,p^(ti-k)),约去后化简为G^A = T (mod pi^(ti-b)),G属于[0,pi^(ti-b)),mod数存在原根，T与mod数互质，转化为了弱化版，可以用bsgs+原根求解，设解数为ans，最后应该ans*=p^(b-k)，因为定义域缩小了，且存在大小为p^(ti-b)的循环节，除一下就知道最后要扩大的倍数了。

 

那么怎么求x^A=B(mod C)呢？  C存在原根，且（B，C）=1。我们找到C的原根g，找到B在原根g下modC的指标，x也必定为原根g的若干次方%C，式子变为

g^(aA)=g^b(mod C),由于循环节phi（C），变为aA=b（mod phi(C)）,0=<a<phi(C)，用扩展欧几里得算法即可实现。